已知数列满足.求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；设，数列的前项和为，求证：对任意,有成立.

题文

已知数列

满足

.
（1）求证：数列

是等比数列，并求数列

的通项公式

；
（2）设

，数列

的前

项和为

，求证：对任意

,有

成立. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）见解析。

解析

（1）根据

对数列

的通项公式

进行配凑，根据定义去证明；（2）结合（1）及三角函数的周期性得

然后放缩构造等比数列进行求和，
（1）


又

数列

是首项为3，公比为-2的等比数列.  4′
从而

            6′
（2）

       8′
当

时，则






 12′


                               14′

考点

据考高分专家说，试题“已知数列满足.（1）求证：数列是等比数列.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。