已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{an}，{bn}的

题文

已知等差数列{a_n}的首项a₁＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
(2)设数列{c_n}对n∈N^*，均有

＋

＋…＋

＝a_n＋1成立，求c₁＋c₂＋c₃＋…＋c₂₀₁₄的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n＝2n－1   b_n＝3^n－1
（2）3²⁰¹⁴

解析

解：(1)∵a₂＝1＋d，a₅＝1＋4d，a₁₄＝1＋13d，
∴(1＋4d)²＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2(∵d>0)．
则a_n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
又b₂＝a₂＝3，b₃＝a₅＝9，
∴等比数列{b_n}的公比q＝

＝

＝3.
∴b_n＝b₂q^n－2＝3×3^n－2＝3^n－1.
(2)由

＋

＋…＋

＝a_n＋1得
当n≥2时，

＋

＋…＋

＝a_n，
两式相减，得

＝a_n＋1－a_n＝2，
∴c_n＝2b_n＝2×3^n－1(n≥2)．
而当n＝1时，

＝a₂，∴c₁＝3.
∴c_n＝


∴c₁＋c₂＋c₃＋…＋c₂₀₁₄
＝3＋2×3¹＋2×3²＋…＋2×3²⁰¹³
＝3＋


＝3－3＋3²⁰¹⁴
＝3²⁰¹⁴.

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。