已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2.当n≥2时，Sn－1＋1，an，Sn＋1成等差数列．(1)求证：{Sn＋1}是等比数列；(2)求数列{nan}的前n

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝2.当n≥2时，S_n－1＋1，a_n，S_n＋1成等差数列．
(1)求证：{S_n＋1}是等比数列；
(2)求数列{na_n}的前n项和T_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）见解析
（2）T_n＝

解析

解：(1)证明：∵S_n－1＋1，a_n，S_n＋1成等差数列，
∴2a_n＝S_n＋S_n－1＋2(n≥2)．
∴2(S_n－S_n－1)＝S_n＋S_n－1＋2，即S_n＝3S_n－1＋2，
∴S_n＋1＝3(S_n－1＋1)(n≥2)．
∴{S_n＋1}是首项为S₁＋1＝3，公比为3的等比数列．
(2)由(1)可知S_n＋1＝3ⁿ，∴S_n＝3ⁿ－1.
当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2×3^n－1.
又a₁＝2，∴a_n＝2×3^n－1(n∈N^*)．na_n＝2n·3^n－1
∴T_n＝2＋4×3＋6×3²＋…＋2(n－1)×3^n－2＋2n×3^n－1，①
3T_n＝2×3＋4×3²＋6×3³＋…＋2(n－1)×3^n－1＋2n×3ⁿ，②
由①－②得，
－2T_n＝2＋2×3＋2×3²＋…＋2×3^n－1－2n×3ⁿ＝

－2n×3ⁿ＝3ⁿ－1－2n×3ⁿ，
∴T_n＝

.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。