设数列的前项和为，已知，，，求数列的通项公式；求所有满足等式成立的正整数，.

题文

设数列

的前

项和为

，已知

（

，

为常数），

，

，（1）求数列

的通项公式；（2）求所有满足等式

成立的正整数

，

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

（

）；（2）

.

解析

（1）由

取n=1，及

，

，可求得

，再由

构造两个关系相减求得

与

关系，进而知道

为等比数列，从而可求得通项公式；（2）由（1），得

，代入

，同时注意变形技巧，易得n与m的关系，注意到

，

为正整数，以m为分类标准进行讨论，进而求得n与m的值.
试题解析：（1）由题意，得

，求得

．所以，

   ①
当

时，

      ②
①－②，得

（

），又

，所以数列

是首项为

，公比为

的等比数列，
故

的通项公式为

（

）.
（2）由（1），得

，由

，两边倒数，且有

，因此得

，化简得

，即

，即

．（*）因为

，所以

，所以

，因为

，所以

或

或

.
当

时，由（*）得

，所以无正整数解；
当

时，由（*）得

，所以无正整数解；
当

时，由（*）得

，所以

.综上可知，存在符合条件的正整数

.

与

的关系：

；2，等比数列通项公式，前n项和公式；3，分类讨论思想.

考点

据考高分专家说，试题“设数列的前项和为，已知（，为常数），，，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。