题文
设
为数列
的前
项和，对任意的
N，都有
为常数，且
．
（1）求证：数列
是等比数列；
（2）设数列
的公比
与
函数关系为
，数列
满足
，点
落在
上，
，
N，求数列
的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列
的前
项和
，使
恒成立时，求
的最小值．[ 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）证明过程详见试题分析； （2）数列的通项公式为
；
（3）
，
的最小值为-6．
解析
（1）按照等比数列的定义证明数列
是等比数列；
（2）由（1）知
与
函数关系为
，∴
是首项为
，公差为1的等差数列，通项公式可求；
（3）先用错位相减法求出数列
的前
项和
，即
，化简得
恒成立，由单调性知当
时，右边最大，所以
，
的最小值为-6．
（1）证明：当
时，
，解得
． 1分
当
时，
． 2分
即
．
∵
为常数，且
，∴
． 3分
∴数列
是首项为1，公比为
的等比数列． 4分
（2）解：由（1）得，
，
． 5分
∵
∴
，即
．
∴
是首项为
，公差为1的等差数列． 7分
∴
，即
（
）． 8分
（3）解：由（2）知
，则
． 9分
所以
，
即
， ①
， ②
②－①得
，
故
．
，化简得
恒成立，由单调性知当
时，右边最大，所以
，
的最小值为-6． 14分
考点
据考高分专家说，试题“设为数列的前项和，对任意的N，都有为常数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
