设数列的前n项和为，且.求，，，的值；猜想的表达式，并加以证明。

题文

设数列

的前n项和为

，且

（

）.
（1）求

，

，

，

的值；
（2）猜想

的表达式，并加以证明。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

,

,

,

; （2）猜想

（

）,证明见解析.

解析

（1）由条件

，当

时，有

，解得

，同理当

分别取2，3，4可得

，

，

的值；（2）由（1）中前四项的值可猜想

,由

得

，两式相减并化为

，则

是等比数列，求出通项公式，可得

的通项公式.
解：（1）因为

，

，

            （1分）
所以，当

时，有

，解得

；                （2分）
当

时，有

，解得

；             （3分）
当

时，有

，解得

；         （4分）
当

时，有

，解得

．（5分）
（2）猜想

（

）                                   （9分）
方法一：
由

（

），得

（

），          （10分）
两式相减，得

，即

（

）．（11分）
两边减2，得

，                                   （12分）
所以{

}是以-1为首项，

为公比的等比数列，
故

，                                          （13分）
即

（

）． （14分）
方法二：
①当n=1时，由（1）可知猜想显然成立；                           （10分）
②假设当n=k时，猜想成立，即

，                      （11分）
由

（

），得

，


两式相减，得

，                                 （12分）
所以

，
即当n=k+1时，猜想也成立．  （13分）
根据①和②，知对任意

，猜想成立．（14分）

考点

据考高分专家说，试题“设数列的前n项和为，且（）.（1）求，，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。