某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这

题文

某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为

；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来

的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为

；依此规律得到

级分形图.



（1）

级分形图中共有   条线段；
（2）

级分形图中所有线段长度之和为  ． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

（2）

解析

（1）显然当

时，有3条线段，
当

时,3条线段的另一端各增加2条线段,所以新增线段

条,故此时共有

条线段;
当

时,在

时新增的线段的另一端各增加2条线段,所以新增线段

条,故此时共有

条线段;
依次类推,每次都是在上一次的新增线段的另一端各增加2条线段,所以推断出

级分形图中,有线段


条.
（2）设

级分形图中所有线段长度之和为

,根据题意

,






显然,

构成一个首项为3,公比为

的等比数列的和.
所以

.

考点

据考高分专家说，试题“某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。