已知数列{an }的前n项和为Sn，满足an ¹ 0，，．求证：；设，求数列{bn}的前n项和Tn．

题文

已知数列{a_n }的前n项和为S_n，满足a_n ¹ 0，

，

．
（1）求证：

；
（2）设

，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）见解析（2）T_n=

解析

（1）由

，变形为

，然后利用累加法可证得结果.
（2）由

，

．两式相减得

，即

，然后利用等差等比数列的前n项和公式即可求得结果.
试题解析：（1）证明：∵

，a_n ¹ 0，
∴

．                         
则

，

，…，

（n≥2，

）．
以上各式相加，得

．  
∵

，∴

．
∴

（n≥2，

）．              
∵n = 1时上式也成立，∴

（

）．
（2）∵

，
∴

．
两式相减，得

．
即

．                        
则

．                       


=

 =

．  

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an }的前n项和为Sn，满足.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。