题文
已知数列
满足：
，其中
.
（1）求证：数列
是等比数列；
（2）令
，求数列
的最大项. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）详见解析；（2）最大项为
.
解析
（1）首先根据已知等式
，令
，可得
，再根据已知等式可得
，将两式相减，即可得到数列
的一个递推公式，只需验证将此递推公式变形得到形如
的形式，从可证明数列
是等比数列；（2）由（1）可得
，从而
，因此要求数列
的最大项，可以通过利用作差法判断数列
的单调性来求得：
，
当
时，
，即
；当
时，
； 当
时，
，即
，因此数列
的最大项为
.
试题解析：（1）当
时，
，∴
， 1分
又∵
， 2分
∴
，即
，∴
. 4分
又∵
，∴数列
是首项为
，公比为
的等比数列； 6分
（2）由（1）知，
，
∴
， ∴
， 8分
当
时，
，即
， 9分
当
时，
， 10分
当
时，
，即
， 11分
∴数列
的最大项为
， 13分
考点
据考高分专家说，试题“已知数列满足：，其中.（1）求证：数列是.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
