对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列，(1)判断an=2+sinn是否为有界数列，并说

题文

对于数列{a_n}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|a_n|≤M，则称{a_n}为有界数列，
(1)判断a_n=2+sinn是否为有界数列，并说明理由；
(2)是否存在正项等比数列{a_n}，使得{a_n}的前n项和S_n构成的数列{S_n}是有界数列？若存在，求数列{a_n}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)判断数列

(n≥2)是否为有界数列，并证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(1)因为1≤a_n=2+sinn≤3，所以{a_n}为有界数列；
(2)设公比为q，当0＜q＜1时，

，
则正数数列{S_n}满足

，故为有界数列；
当q=1时，S_n=na₁，故为无界数列；
当q＞1时，S_n=a₁+a₂+…+a_n＞na₁，此时为无界数列；
综上，当且仅当0＜q＜1时，{S_n}为有界数列。
(3){a_n}为无界数列，证明如下：


，
∴

，
∴







，
∴

，
故当n无限增大时，a_n也无限增大，所以{a_n}为无界数列。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“对于数列{an}，若存在一个.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。