已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=an+n-4，bn=n，其中λ为实数，n为正整数。对任意实数λ，证明

题文

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=

a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数。（1）对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；
（2）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）假设存在一个实数λ，使{a_n}是等比数列，则有a₂²=a₁a₃，
即


矛盾
所以{a_n}不是等比数列。
（2）因为b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（

a_n-2n+14）



又b₁=-（λ+18）
所以
当λ=-18，b_n=0（n∈N⁺），此时{b_n}不是等比数列
当λ≠-18时，b₁=（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴


故当λ≠-18时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-

为公比的等比数列。
（3）由（2）知，当λ=-18，b_n=0，S_n=0，不满足题目要求
∴λ≠-18，
故知b_n=-（λ+18）·

，于是可得



要使a＜S_n＜b对任意正整数n成立，
即a＜-

（λ+18）·[1-（-

）ⁿ]＜b（n∈N⁺）
得


令f（n）=1-（-

）ⁿ
则①当n为正奇数时，

；
当n为正偶数时，

，
∴f（n）的最大值为f（1）=

，f（n）的最小值为f（2）=


于是，由①得

a＜-

（λ+18）＜


当a＜b≤3a时，由-b-18≥-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b，且λ的取值范围是（-b-18，-3a-18）。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}和{bn}满足：a.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。