已知数列{an}和{bn}满足a1=λ，an+1=an+n-4，bn=n，其中λ为实数，n为正整数，证明：对任意实数λ，

题文

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=λ，a_n+1=

a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数，
（Ⅰ）证明：对任意实数λ，数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅱ）证明：当λ≠-18时，数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）设S_n为数列{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a_n｝是等比数列，则有a₂²=a₁a₃，
即（

）²=

²

矛盾，
所以｛a_n｝不是等比数列。
（Ⅱ）证明：∵




，
又λ≠-18，
∴

，
由上式知

，
∴

，
故当λ≠-18时，数列｛b_n｝是以-（λ+18）为首项，

为公比的等比数列。
（Ⅲ）解：当λ≠-18时，由（Ⅱ）得

，
于是

，
当λ=-18时，

，从而

，上式仍成立.
要使对任意正整数n，都有S_n＞-12，
即

，
令

，则
当n为正奇数时，

；当n为正偶数时，

1；
∴f（n）的最大值为

，
于是可得

，
综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12，
λ的取值范围为

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}和{bn}满足a1.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。