已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列。又，n=1，2，3，…，证明{bn}为等比数列；如果无穷等

题文

已知{a_n}是各项均为正数的等差数列，lga₁、lga₂、lga₄成等差数列。又

，n=1，2，3，…，
（Ⅰ）证明{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）如果无穷等比数列{b_n}各项的和S=

，求数列{a_n}的首项a₁和公差d。
（注：无穷数列各项的和即当n→∞时数列前项和的极限） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：设{a_n}中首项为a₁，公差为d，
∵lga₁，lga₂，lga₄成等差数列，
∴2lga₂=lga₁·lga₄，
∴a₂²=a₁·a₄，即(a₁+d)²=a₁(a₁+3d)，
∴d=0或d=a₁，
当d=0时，a_n=a₁，

，
∴

，∴{b_n}为等比数列；
当d=a₁时，a_n=na₁，

，
∴

，∴{b_n}为等比数列；
综上可知{b_n}为等比数列。
（Ⅱ）解：∵无穷等比数列{b_n}各项的和

，
∴|q|＜1，
由（Ⅰ）知，q=

，d=a₁，

，
∴

，∴a₁=3，
∴

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是各项均为正数的.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。