已知数列{an}各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n∈N*都有Sn=p-pan，记，求an；试比较f

题文

已知数列{a_n}各项均不为0，其前n项和为S_n，且对任意n∈N*都有（1-p）S_n=p-pa_n（p为大于1的常数），记

，
（1）求a_n；
（2）试比较f（n+1）与

的大小（n∈N*）；
（3）求证：

（n∈N*）。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵

，①
∴

，②
②－①，得

，
即

，
在①中令n=1，可得

，
∴{a_n}是首项为a₁=p，公比为p的等比数列，

。
（2）由（1）可得

，


，
∴



，


，
而

，且p＞1，
∴

，
∴

，（n∈N*）。
（3）由（2）知

，（n∈N*），
∴当n≥2时，

，
∴




，（当且仅当n=1时取等号）；
另一方面，当n≥2，k=1，2，…，2n-1时，











，
∵

，
∴

，
∴

，（当且仅当k=n时取等号），
∴

（当且仅当n=1时取等号）；
综上所述，

，（n∈N*）。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}各项均不为0.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。