已知各项为正数的等差数列{an}满足．求数列{an}的通项公式；设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn．

题文

答案

解：（I）（方法一）设等差数列{a_n}的公差为d
则


联立方程，消去a₁可得，9﹣d²=8
∴d²=1∴d=±1
由a_n＞0可知公差d＞0
∴d=1∴a₁=2∴a_n=n+1
（方法二）∵数列{a_n}是等差数列
由等差数列的性质可得，a₂+a₈=a₃+a₇=12
∴a₃a₇=32
∴

解方程可得，

或


∵a_n＞0
∴d＞0，

∴


由等差数列的通项公式可得，d=

=


等差数列的通项公式为：a_n=a₃+（n﹣3）d=n+1
（II）由

=2n+1
∴c_n=a_n+b_n=n+1+2n+1
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=[2+3+…+（n+1）]+（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）
=


=

解析

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考点

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。