已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且3an+1+2Sn=3求出数列{an}的通项公式；若对任意正整数n，k≤Sn恒成立

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3（n为正整数）
（Ⅰ）求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意正整数n，k≤S_n恒成立，求实数k的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）∵3a_n+1+2S_n，①
∴当n≥2时，3a_n+2S_n﹣1=3．②
由 ①﹣②，得3a_n+1﹣3a_n+2a_n=0．
∴

，n≥2．
又∵a₁=1，3a₂+2a₁=3，解得

．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为

的等比数列．
∴

，（n为正整数）．
（2）∵数列{a_n}是首项为1，公比为

的等比数列，
∴

=

，
由题意可知，对于任意的正整数n，恒有k≤

，
∴数列{1﹣

}单调递增，
当n=1时，数列中的最小项为

，
即


∴必有k≤1，即实数k的最大值为1．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。