数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点在直线y=3x+1上，n∈N*．当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？在（Ⅰ

题文

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=3x+1上，n∈N*．
（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b_n=log₄a_n+1，c_n=a_n+b_n，T_n是数列{c_n}的前n项和，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）∵点（S_n，a_n+1）在直线y=3x+1上
∴a_n+1=3S_n+1，①
a_n=3S_n﹣1+1，②（n＞1）
①﹣②：a_n+1﹣a_n=3（S_n﹣S_n﹣1）=3a_n，
∴a_n+1=4a_n，n＞1
∵a₂=3S₁+1=3a₁+1=3t+1，a₁=t，
∴3t+1=4t，∴t=1
∴当t=1时，a₂=4a₁，数列{an}是等比数列
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的结论下，a_n+1=4a_n，
∴

，
∴b_n=log₄a_n+1=n，

，
∴

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和记为Sn，a.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。