已知：等差数列{an}的首项a1，公差d，证明数列前n项和；已知：等比数列{an}的首项a1，公比q，则证明数列前n项和．

题文

（1）已知：等差数列{a_n}的首项a₁，公差d，证明数列前n项和

；
（2）已知：等比数列{a_n}的首项a₁，公比q，则证明数列前n项和

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵S_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n﹣1）d]，
S_n=a_n+（a_n﹣d）+（a_n﹣2d）+…+[a_n﹣（n﹣1）d]，相加可得
2S_n=n（a₁+a_n），
∴S_n=

．
再把 a_n=a₁+（n﹣1）d 代入可得


．
（2）证明：当公比q=1时，等比数列{a_n}的所有项都等于a₁，
∴S_n=na₁．
当公比q≠1时，
∵S_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q ^n﹣1，
qS_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁q ^n﹣1+a₁ qⁿ，
错位相减可得（1﹣q）S_n=a₁﹣a₁qⁿ，
∴S_n=

=

，


．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“（1）已知：等差数列{an}的首项.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。