已知数列{an} 的前n项和为Sn，且Sn=n2．数列{bn}为等比数列，且b1=1，b4=8．求数列{an}，{bn}的通项公式；若数列{c

题文

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n=n²．数列{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₄=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=

，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²，
∴当n≥2时，a_n=Sn﹣S_n﹣1=n²﹣（n﹣1）²=2n﹣1．
当n=1时，a₁=S₁=1满足上式，
故a_n=2n﹣1
又 数列{b_n}为等比数列，设公比为q，
∵b₁=1，b₄=b₁q³=8，
∴q=2．
∴b_n=2^n﹣1
（Ⅱ）

=2ⁿ﹣1．
T_n=c₁+c₂+…+c_n=（2﹣1）+（2²﹣1）+…+（2ⁿ﹣1）=（2+2²+…+2ⁿ）﹣n=2ⁿ⁺¹﹣2﹣n

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an} 的前n项和为Sn.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。