已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn=4．求证：数列{an}是等比数列；是否存在正整数k，使成立．

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+S_n=4．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）是否存在正整数k，使

成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：由题意，a_n+S_n=4，a_n+1+S_n+1=4，
两式相减得


当n=1时，a₁+S₁=2a₁=4，得a₁=2．
∴数列{a_n}是以首项a₁=2，公比为

的等比数列．
（2）解：由（1）知


∴

等价于


∴


∴

∴


∵k是正整数，
∴2^k﹣1正整数，这与

相矛盾，
故不存在这样的k，使不等式成立

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。