数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n．设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式；

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的正整数n都有S_n=2a_n﹣3n．
（1）设b_n=a_n+3，求证：数列{b_n}是等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵S_n=2a_n﹣3n，对于任意的正整数都成立，
∴S_n﹣1=2a_n﹣1﹣3n﹣3，
两式相减，得a _n+1=2a_n+1﹣2a_n﹣3，即a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=（2a_n+3），
所以数列{b_n}是以2为公比的等比数列，
由已知条件得：S₁=2a₁﹣3，a₁=3．
∴首项b₁=a₁+3=6，公比q=2，
∴a_n=6●2^n﹣1﹣3=3●2ⁿ﹣3．
（2）∵na_n=3×n●2ⁿ﹣3n
∴S_n=3（1●2+2●2²+3●2³+…+n●2ⁿ）﹣3（1+2+3+…+n），
2S_n=3（1●2²+2●2³+3●2⁴+…+n●2ⁿ⁺¹）﹣6（1+2+3+…+n），
∴﹣S_n=3（2+2²+2³+…+2ⁿ）+3（1+2+3+…+n）=


∴S_n=

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，若对.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。