已知数列{an}首项a1=2，且对任意n∈N*，都有an+1=ban+c，其中b，c是常数．若数列{an}是等差数列，且c=2，求数列{an}的通项

题文

已知数列{a_n}首项a₁=2，且对任意n∈N*，都有a_n+1=ba_n+c，其中b，c是常数．
（1）若数列{a_n}是等差数列，且c=2，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是等比数列，且|b|＜1，当从数列{a_n}中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使{a_n}的前n项和S_n＜

成立的n取值集合． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）a_n+1=ba_n+2
∵a₁=2，
∴a₂=2b+2，a₃=2b²+2b+2
∵数列{a_n}是等差数列，
∴2（2b+2）=2+2b²+2b+2
∴b²﹣b=0
∴b=0或1
当b=0时，a_n=2；
当b=1时，a _n+1﹣a_n=2，∴a_n=2n；
（2）若数列{a_n}是等比数列，则c=0由条件知，a₁，a₂，a₃按某种顺序排列成等差数列，我们知道，等差数列总是单调的（常数列除外），现在讨论前三项2，2b，2b²按某种顺序排列成等差数列的情况．
若0＜b＜1，则2＞2b＞2b²，是单调的，但它不是等差数列，调整顺序后又不单调，所以不能组成等差数列，从而﹣1＜b＜0，
此时，2b＜0，2b＜2b²＜2，
所以2b，2b²，2组成等差数列，
所以2b+2=4b²，解得b=﹣


从而a_n=2×（﹣

）^n﹣1，
∴S_n=

[1﹣（﹣

）ⁿ]
令S_n＜

，即

[1﹣（﹣

）ⁿ]＜

，
化简，得（﹣

）ⁿ＞（

）¹⁰
故当n为偶数时，有n＜10
所以，n=2，4，6，8．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}首项a1=2，且对.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。