某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初

题文

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（Ⅰ）求第n年初M的价值a_n的表达式；
（Ⅱ）设

，若A_n大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（I）当n＜6时，数列{a_n}是首项为120，公差为﹣10的等差数列
a_n=120﹣10（n﹣1）=130﹣10n
当n≥6时，数列{a_n}是以a₆为首项，公比为

的等比数列，
又a₆=70
所以


因此，第n年初，M的价值a_n的表达式为


（II）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，S_n=120n﹣5n（n﹣1），A_n=120﹣5（n﹣1）=125﹣5n
当n≥7时，由于S₆=570
故S_n=S₆+（a₇+a₈+…+a_n）=

=




因为{a_n}是递减数列，所以{A_n}是递减数列，
又




所以须在第9年初对M更新．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“某企业在第1年初购买一台价值为12.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。