已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(12)n-1+2．求数列{an}的通项公式；令cn=n+1nan，Tn=c1+c2+…+cn

题文

已知数列{a_n}的前n项和Sn=-an-(12)n-1+2（n为正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令cn=n+1nan，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求T_n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）在Sn=-an-(12)n-1+2中，
令n=1，可得S₁=-a₁-1+2=a₁，
即a1=12
当n≥2时，Sn-1=-an-1-(12)n-2+2，
∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(12)n-1，
∴2an=an-1+(12)n-1，即2nan=2n-1an-1+1．
∵b_n=2ⁿa_n，∴b_n=b_n-1+1，
即当n≥2时，b_n-b_n-1=1．
又b₁=2a₁=1，
∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列．
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，
∴an=n2n．
（2）由（1）得cn=n+1nan=(n+1)(12)n，
所以Tn=2×12+3×(12)2+4×(12)3+…+(n+1)(12)n12Tn=2×(12)2+3×(12)3+4×(12)4+…+(n+1)(12)n+1
由①-②得12Tn=1+(12)2+(12)3+…+(12)n-(n+1)(12)n+1
=1+14[1-(12)n-1]1-12-(n+1)(12)n+1=32-n+32n+1∴Tn=3-n+32n

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=-an-.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。