设等比数列{an}的前n项和Sn，首项a1=1，公比q=f(λ)=λ1+λ(λ≠-1，0)．证明：Sn=-λan；若数列{bn}满足b1=

题文

设等比数列{a_n}的前n项和S_n，首项a₁=1，公比q=f(λ)=λ1+λ(λ≠-1，0)．
（Ⅰ）证明：S_n=（1+λ）-λa_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b1=12，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若λ=1，记cn=an(1bn-1)，数列{c_n}的前项和为T_n，求证：当n≥2时，2≤T_n＜4． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：Sn=a1(1-qn)1-q=a1[1-(λ1+λ)n]1-λ1+λ=(1+λ)[1-(λ1+λ)n]=(1+λ)-λ(λ1+λ)n-1
而an=a1(λ1+λ)n-1=(λ1+λ)n-1所以S_n=（1+λ）-λa_n（4分）
（Ⅱ）f(λ)=λ1+λ，∴bn=bn-11+bn-1，∴1bn=1bn-1+1，（6分）
∴{1bn}是首项为1b1=2，公差为1的等差数列，1bn=2+(n-1)=n+1，即bn=1n+1．（8分）
（Ⅲ）λ=1时，an=(12)n-1，∴cn=an(1bn-1)=n(12)n-1（9分）
∴Tn=1+2(12)+3(12)2++n(12)n-1∴12Tn=12+2(12)2+3(12)3++n(12)n
相减得∴12Tn=1+(12)+(12)2++(12)n-1-n(12)n=2[1-(12)n]-n(12)n
∴Tn=4-(12)n-2-n(12)n-1＜4，（12分）
又因为cn=n(12)n-1＞0，∴T_n单调递增，
∴T_n≥T₂=2，故当n≥2时，2≤T_n＜4．（13分）

解析

a1(1-qn)1-q

考点

据考高分专家说，试题“设等比数列{an}的前n项和Sn，首项a.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。