已知等比数列{an}的各项都是正数，Sn=80，S2n=6560，且在前n项中，最大的项为54，求n的值．

题文

已知等比数列{a_n}的各项都是正数，S_n=80，S_2n=6560，且在前n项中，最大的项为54，求n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由已知a_n＞0，得q＞0，若q=1，则有S_n=na₁=80，S_2n=2na₁=160与S_2n=6560矛盾，故q≠1．
∵a1(1-qn)1-q=80     (1) a1(1-q2n)1-q=6560  (2)，由（2）÷（1）得qⁿ=81（3）．
∴q＞1，此数列为一递增数列，在前n项中，最大一项是a_n，即a_n=54．
又a_n=a₁q^n-1=a1qqⁿ=54，且qⁿ=81，∴a₁=5481q．即a₁=23q．
将a₁=23q代入（1）得23q（1-qⁿ）=80（1-q），即23q（1-81）=80（1-q），解得q=3．又qⁿ=81，∴n=4．

解析

a1(1-qn)1-q=80     (1) a1(1-q2n)1-q=6560  (2)

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的各项都是正数，Sn.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。