已知函数y=f是定义在R上恒不为0的单调函数，对任意的x，y∈R，总有ff=f成立，若数列{an}的n项和为Sn，且满足a1=f（0

题文

已知函数y=f（x）是定义在R上恒不为0的单调函数，对任意的x，y∈R，总有f（x）f（y）=f（x+y）成立，若数列{a_n}的n项和为S_n，且满足a₁=f（0），f(an+1)=1f(3n+1-2an)（n∈N^*），则S_n=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为任意的x，y∈R，总有f（x）f（y）=f（x+y）成立，
所以f（0）f（0）=f（0），即f（0）•（f（0）-1）=0，
解得f（0）=1，即a₁=1，
又f（a_n+1）•f（3ⁿ⁺¹-2a_n）=1，即f（a_n+1+3ⁿ⁺¹-2a_n）=f（0），
所以a_n+1+3ⁿ⁺¹-2a_n=0，
则a_n+1+3ⁿ⁺¹+2×3ⁿ⁺¹=2a_n+2×3ⁿ⁺¹，，即an+1+3n+2an+3n+1=2，
所以数列{a_n+3ⁿ⁺¹}是首项为10，公比为2的等比数列，
则a_n+3ⁿ⁺¹=10×2^n-1，即a_n=5×2ⁿ-3ⁿ⁺¹，
所以S_n=5×2(1-2n)1-2-32(1-3n)1-3=5×2n+1-3n+2+112．
故答案为5×2n+1-3n+2+112．

解析

an+1+3n+2an+3n+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=f（x）是定义在R上恒不为0.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。