已知{an}是首项为2，公比为12的等比数列，Sn为它的前n项和．用Sn表示Sn+1；是否存在自然数c和k，使得Sk+1-cSk-c＞2成立．

题文

已知{a_n}是首项为2，公比为12的等比数列，S_n为它的前n项和．
（1）用S_n表示S_n+1；
（2）是否存在自然数c和k，使得Sk+1-cSk-c＞2成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）由Sn=4(1-12n)，得Sn+1=4(1-12n+1)=12Sn+2(n∈N)．
（2）要使Sk+1-cSk-c＞2，只要c-(32Sk-2)c-Sk＜0．
因为Sk=4(1-12k)＜4，所以Sk-(32Sk-2)=2-12Sk＞0(k∈N)，
故只要32Sk-2＜c＜Sk(k∈N)．①
因为S_k+1＞S_k（k∈N），所以32Sk-2≥32S1-2=1，
又S_k＜4，故要使①成立，c只能取2或3．
当c=2时，因为S₁=2，所以当k=1时，c＜S_k不成立，从而①不成立．
因为32S2-2=52＞c，由S_k＜S_k+1（k∈N），得32Sk-2＜32Sk+1-2，所以当k≥2时，32Sk-2＞c，从而①不成立．
当c=3时，因为S₁=2，S₂=3，
所以当k=1，2时，c＜S_k不成立，从而①不成立．
因为32S3-2=134＞c，又32Sk-2＜32Sk+1-2，
所以当k≥3时，32Sk-2＞c，从而①不成立．
故不存在自然数c、k，使Sk+1-cSk-c＞2成立．

解析

12n

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是首项为2，公比为12的等比.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。