已知各项均为正数的数列{an}满足2an+12+3an+1•an-2an2=0，n为正整数，且a3+132是a2，a4的等差中项，求数列{an}通项公式；

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}满足2a_n+1²+3a_n+1•a_n-2a_n²=0，n为正整数，且a3+132是a2，a4的等差中项，
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若Cn=-logan12an•Tn=C1+C2+…+Cn求使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立的正整数n的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）根据题意可得：2a_n+1²+3a_n+1•a_n-2a_n²=0，
所以（a_n+1+2a_n）（2a_n+1-a_n）=0，
因为数列{a_n}各项均为正数，
所以an+1= 12an，
所以数列{a_n}是等比数列，并且公比为12．
因为a3+132是a2，a4的等差中项，
所以a2+a4=2a3+116，即a1q+a1q3=2a1q2+116，
解得：a1=12．
所以数列{a_n}通项公式为an=(12)n．
（2）由（1）可得C_n=-n•2ⁿ，
所以T_n=-2-2×2²-3×2³-…-n×2ⁿ…①，
所以2T_n=-2²-2×2³-3×2⁴…-（n-1）2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹…②
所以①-②并且整理可得：T_n=（1-n）•2^n-1-2．
所以要使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立，只要使2ⁿ⁺¹-2＞125成立，即2ⁿ⁺¹＞127，
所以n≥6，
所以使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立的正整数n的最小值为6．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an}满足2an.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。