已知等比数{an}，a1=1，a4=8，在an与an+1两项之间依次插入2n-1个正整数，得到数列{bn}，即a1，1，a2，2，3，a3，4，5，6，7，a4

题文

已知等比数{a_n}，a₁=1，a₄=8，在a_n与a_n+1两项之间依次插入2^n-1个正整数，得到数列{b_n}，即a₁，1，a₂，2，3，a₃，4，5，6，7，a₄，8，9，10，11，12，13，14，15，a₅，…则数列{b_n}的前2013项之和S₂₀₁₃=______（用数字作答）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

在数列{b_n}中，到a_n项共有=n+（1+2+…+2^n-2）=n+1×(2n-1-1)2-1=2^n-1+n-1项，即为f（n）（n≥2）．
则f（11）=2¹⁰+11-1=1034，f（12）=2¹¹+12-1=2059．
设等比数{a_n}的公比为q，由a₁=1，a₄=8，得1×q³=8，解得q=2，
因此S₂₀₁₃=a₁+a₂+…+a₁₀+a₁₁+1+2+3+…+2002=1×(211-1)2-1+2002×(1+2002)2=2007050．
故答案为2007050．

解析

1×(2n-1-1)2-1

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数{an}，a1=1，a4=8，.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。