设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：log0.5Sn+log0.5Sn+22＞log0.5Sn+1．

题文

设{a_n}是由正数组成的等比数列，S_n是其前n项和，证明：log0.  5Sn+log0. 5Sn+22＞log0. 5Sn+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：设{a_n}的公比为q，由题设知a₁＞0，q＞0，
（1）当q=1时，S_n=na₁，从而
S_n•S_n+2-S_n+1²=na₁（n+2）a₁-（n+1）²a₁²=-a₁²＜0．
（2）当q≠1时，Sn=a1(1-qn)1-q，从而
S_n•S_n+2-S_n+1²=a21(1-qn)(1-qn+2)(1-q)2-a21(1-qn+1)2(1-q)2=-a₁²qⁿ＜0．
由（1）和（2）得S_n•S_n+2＜S_n+1²．
根据对数函数的单调性，得log_0.5（S_n•S_n+2）＞log_0.5S_n+1²，
即log0.  5Sn+log0. 5Sn+22＞log0. 5Sn+1．

解析

a1(1-qn)1-q

考点

据考高分专家说，试题“设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。