数列{an}满足a1+a2+…+an=2n；则a12+a22+…+an2=______．

题文

数列{a_n}满足a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ；则a₁²+a₂²+…+a_n²=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ，
∴a₁+a₂+…+a_n-1=2^n-1，
则a_n=（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a_n-1）=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
∴a_n²=4^n-1，
∴数列{a_n²}是以1为首项，公比为4的等比数列，
则a₁²+a₂²+…+a_n²=1-4n1-4=4n-13．
故答案为：4n-13

解析

1-4n1-4

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足a1+a2+…+an=2.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。