函数f是定义在[0，1]上的增函数，满足f(x)=2f(x2)且f=1，在每个区间(12i，12i-1]上，y=f的图象都是斜

题文

函数f（x）是定义在[0，1]上的增函数，满足f(x)=2f(x2)且f（1）=1，在每个区间(12i，12i-1]（i=1，2…）上，y=f（x）的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．
（1）求f（0）及f(12)，f(14)的值，并归纳出f(12i)(i=1，2，…)的表达式
（2）设直线x=12i，x=12i-1，x轴及y=f（x）的图象围成的矩形的面积为a_i（i=1，2…），记S(k)=limn→∞(a1+a2+…+an)，求S（k）的表达式，并写出其定义域和最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（0）=2f（0），得f（0）=0，
由f(1)=2f(12)及f（1）=1，得f(12)=12f(1)=12，
同理，f(14)=12f(12)=14，
归纳得f(12i)=12i(i=1，2，…)，
（2）当12i＜x≤12i-1时f(x)=12i-1+k(x-12i-1)ai=12[12i-1+12i-1+…+k(12i-12i-1)](12i-1-12i)=(1-k4)122i-1(i=1，2，…)，
所以{a_n}是首项为12(1-k4)，公比为14的等比数列，
所以S(k)=limn→∞(a1+a2+…+an)=12(1-k4)1-14=23(1-k4)S（k）的定义域为0＜k≤1，当k=1时取得最小值12．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）是定义在[0，1]上的增函数.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。