已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2求数列{an}的通项公式an；若bn=anlog2an，求数列{bn}的前n项和

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=a_nlog₂a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵S_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴n≥2时，S_n-1=2ⁿ-2，
两式相减，可得a_n=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
∵n=1时，a₁=S₁=2
∴a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ，①
∴2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+n•2ⁿ⁺¹②
②-①，得T_n=-2-2²-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。