已知Sn是等比数列{an}的前n项和，an∈N+，a2=30，a1S3=999．求an和；设Sn各位上的数字之和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn

题文

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，a_n∈N⁺，a₂=30，a₁S₃=999．
（Ⅰ）求a_n和；
（Ⅱ）设S_n各位上的数字之和为b_n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a_n∈N^*∴q＞0．
又∵a2=a1q=30a1S30=a1(a1+a2+a3)=a21(1+q+q2)=999（4分）
∴a1=3q=10（6分）
∴a_n=3×10^n-1，Sn=3-(1-10n)1-10=10n-13（8分）
（Ⅱ）∵S_n各位上的数字之和为b_n，Sn=10n-13
∴s₁=3⇒b₁=3=3×1，
s₂=33，⇒b₂=3+3=6=3×2，
s₃=333⇒b₃=3+3+3=9=3×3…
∴b_n=3n，b_n+1-b_n=3，∴{b_n}是等差数列（10分）
∴Tn=n(b1+bn)2=n(3+3n)2=3n2+3n2．（12分）

解析

a2=a1q=30a1S30=a1(a1+a2+a3)=a21(1+q+q2)=999

考点

据考高分专家说，试题“已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。