设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前n项和等于______．

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n．若{S_n}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a_n³}的前n项和等于______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵{S_n}是首项及公比都为2的等比数列，∴Sn=2×2^n-1=2ⁿ，a₁=2．
∴n≥2时，an=Sn-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1．
∴a_n³ =8^n-1 （n≥2），a13=8．
则数列{a_n³}的前n项和等于 8+8+8²+8³+…+8^n-1=8+8(1-8n-1)1-8=17(8n+48)，
故答案为 17(8n+48)．

解析

8(1-8n-1)1-8

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。