已知数列{an}是等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．求等差数列{an}的通项公式；如果数列{bn}是等比数列，且b1=a2，b2

题文

已知数列{a_n}是等差数列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（ I）求等差数列{a_n}的通项公式；
（II）如果数列{b_n}是等比数列，且b₁=a₂，b₂=a₄，求{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）因为数列{a_n}是等差数列，设其公差为d，a₁=2，
则a₂=2+d，a₄=2+3d，a₈=2+7d．
由a₂，a₄，a₈成等比数列，得a₄²=a₂a₈，
即（2+3d）²=（2+d）（2+7d）
解得d=0或d=2，
所以a_n=2或a_n=2n．
（II）①当a_n=2时，b₁=a₂=2，b₂=a₄=2，公比q=1，
{b_n}的前n项和S_n=nb₁=2n；
②当a_n=2n时，b₁=a₂=4，b₂=a₄=8，公比q=2，
{b_n}的前n项和Sn=b1(1-qn)1-q=4(2n-1)．

解析

b1(1-qn)1-q

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是等差数列，a1=2，且.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。