等比数列的前n项的和Sn=k•3n+1，则k的值为______．

题文

等比数列的前n项的和S_n=k•3ⁿ+1，则k的值为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（法一）n=1时，a₁=S₁=3k+1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=k•3ⁿ+1-k•3^n-1-1=2k•3^n-1
数列为等比数列可知a₁=3k+1适合上式，则2k=3k+1
∴k=-1
（法二）由等比数列的前n项和公式可得Sn=a1(1-qn)1-q=a11-q-a11-q•qn
∵S_n=1+k•3ⁿ
∴a11-q=1，k=-a11-q=-1
故答案为：-1

解析

a1(1-qn)1-q

考点

据考高分专家说，试题“等比数列的前n项的和Sn=k•3n+1，.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。