已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2n-1．求数列{an}的通项公式；设bn=Sn•an，且数列{bn}的前n项和为Tn，求

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足Sn=2n-1（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=S_n•a_n，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求6a_n-T_n的最大值及此时n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，a₁=S₁=1，…（2分）
当n＞1时，an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1，
∵a₁=1适合上式，∴{a_n}的通项公式是an=2n-1．…（6分）
（2）bn=(2n-1)2n-1=22n-1-2n-1，…（7分）
∴Tn=(21+23+25+…+22n-1)-(20+21+22+…+2n-1)=2(1-4n)1-4-1-2n1-2=2•4n-23-2n+1=23•4n-2n+13…（11分）
故6an-Tn=-23•4n+4•2n-13=-23(2n-3)2+173，
所以当n=1或2时，（6a_n-T_n）_max=5…（14分）

解析

2(1-4n)1-4

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。