已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，Sn是它的前n项和．求证：Sn+1Sn≤3n+1n．

题文

已知等比数列{a_n}的首项a₁=2，公比q=3，S_n是它的前n项和．求证：Sn+1Sn≤3n+1n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：由已知，得S_n=3ⁿ-1
要证明Sn+1Sn≤3n+1n等价于3n+1-13n-1≤3n+1n即3ⁿ≥2n+1（*）
（方法一）用数学归纳法证明
①当n=1时，左边=3，右边=3，所以（*）式成立
②假设当n=k时（*）成立，即3^k≥2k+1
那么当n=k+1时，3^k+1=3×3^k≥3（2k+1）=6k+3≥2k+3=2（k+1）+1
所以当n=k+1时（*）也成立
综合①②可得，3ⁿ≥2n+1
Sn+1Sn≤3n+1n
（法二）当n=1时，左边=，右边=4，所以（*）成立
当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=1+2n+…＞1+2n
所以Sn+1Sn≤3n+1n

解析

Sn+1Sn

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的首项a1=2，公比.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。