已知数列{an}的首项a1=2，∀n∈N*，点都在直线x-2y+1=0上．证明：数列{an-1}是等比数列；求数列{an}的通项公

题文

已知数列{a_n}的首项a₁=2，∀n∈N^*，点（a_n，a_n+1）都在直线x-2y+1=0上．
（1）证明：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵点（a_n，a_n+1）都在直线x-2y+1=0上，∴a_n-2a_n+1+1=0，
变形为a_n-1=2（a_n+1-1），an+1-1=12(an-1)，又a₁-1=1≠0，
∴数列{a_n-1}是等比数列，首项为1，公比为12．
（2）由（1）得an-1=1×(12)n-1，
∴an=1+21-n．
（3）Sn=(1+20)+(1+2-1)+(1+2-2)+…+(1+21-n)
=n+（2⁰+2^-1+2^-2+…+2^1-n）
=n+1-2-n1-2-1
=n+2-2^1-n．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项a1=2，∀n∈N.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。