若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+an=2n(n∈N*)．证明：数列{an-2}为等比数列；求数列{Sn}的前n项和Tn．

题文

若数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，Sn+an=2n(n∈N*)．
（1）证明：数列{a_n-2}为等比数列；
（2）求数列{S_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n+a_n=2n，①
∴S_n-1+a_n-1=2（n-1），n≥2②
由①-②得，2a_n-a_n-1=2，n≥2，∴2（a_n-2）=a_n-1-2，n≥2，
∵a₁-2=-1，
∴数列{a_n-2}以-1为首项，12为公比的等比数列．
（2）由（1）得an-2=-(12)n-1，∴an=2-(12)n-1，
∵S_n+a_n=2n，∴Sn=2n-an=2n-2+(12)n-1，
∴Tn=[0+(12)0]+[2+(12)]+…+[2n-2+(12)n-1]
=[0+2+…+(2n-2)]+[(12)0+(12)+…+(12)n-1]
=n(2n-2)2+1-(12)n1-12=n2-n+2-(12)n-1．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。