已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1．

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=pⁿ+q（p≠0且p≠1），求证：数列{a_n}为等比数列的充要条件为q=-1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：充分性：当q=-1时，a₁=S₁=p+q=p-1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=p^n-1（p-1）．
当n=1时也成立．
于是an+1an=pn(p-1)pn-1(p-1)=p（n∈N₊），
即数列{a_n}为等比数列．
必要性：当n=1时，a₁=S₁=p+q．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=p^n-1（p-1）．
∵p≠0，p≠1．
∴an+1an=pn(p-1)pn-1(p-1)=p．
∵{a_n}为等比数列，
∴a2a1=an+1an=p，p(p-1)p+q=p，
即p-1=p+q．∴q=-1．
综上所述，q=-1是数列{a_n}为等比数列的充要条件．

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。