已知各项均为正数的数列{an}满足an+12=2an2+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*，(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N*，
(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；
(Ⅱ)设数列{b_n}的前n项和为T_n，令b_n=a_n²，其中n∈N*，试比较

与

的大小，并加以证明。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)因为

，
即(a_n+1+a_n)(2a_n-a_n+1)=0，
又a_n＞0，
所以有2a_n-a_n+1=0，
所以，2a_n=a_n+1，
所以数列{a_n}是公比为2的等比数列， 
由a₂+a₄=2a₃+4，得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得：a₁=2，
故数列{a_n}的通项公式为

。
(Ⅱ)因

，所以，

，
即数列{b_n}是首项为4，公比为4的等比数列，
所以，

，
则

，
又

，


，
猜想：

，
①当n=1时，

，上面不等式显然成立；
②假设当n=k时，不等式

成立，
当n=k+1时，


；
综上①②对任意n∈N*均有

，
又

，
∴

，
所以对于任意n∈N*均有

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。