如图(1)是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)．如此继续下去，得图(3)…试求第n个图形

题文

如图(1)是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)．如此继续下去，得图(3)…试求第n个图形的边长和周长．

题型：未知 难度：其他题型

答案

解：设第n个图形的边长为a_n，
由题意知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的

，
所以数列{a_n}是首项为1，公比为

的等比数列，
故

，
要计算第n个图形的周长，只需计算第n个图形的边数，第1个图形的边数为3，因为从第2个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍，所以第n个图形的边数为3×4^n-1，
因此，第n个图形的周长=

×（3×4^n-1）=3×

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“如图(1)是一个边长为1的正.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。