已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足。求数列{an}的通项公式；当q=时，试证明Sn＜。（3

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足

（q是常数，且q>0，q≠1）。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当q=

时，试证明S_n＜

。
（3）设函数f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），是否存在正整数m，使

对n∈N*都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由题意知


得

·


∴


当n≥2时



∴


故数列{a_n}是首项为q，公比为q的等比数列
∴

。
（2）由（1）知，当

时，


∴

。
（3）∵


∴








∴


∴


欲使


即


对n∈N*都成立
则


又当n∈N*时


随n的增大而增大
∴


又∵m为正整数
∴m的值为1，2，3
故使

对n∈N*都成立的正整数m存在，其值为1，2，3。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和S.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。