已知数列{bn}是递增的等比数列，且b1，b3为方程x2-5x+4=0的两根，求数列{bn}的通项公式；若an=log2bn

题文

已知数列{b_n}（n∈N*）是递增的等比数列，且b₁，b₃为方程x²-5x+4=0的两根，
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若a_n=log₂b_n+3，求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）在（2）的条件下，若a₁+a₂+a₃+…+a_m≤a₄₀（m∈N*），求m的最大值。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵b₁，b₃为方程x²-5x+4=0的两个根，且b_n+1＞b_n，
∴b₁=1，b₃=4，∴b₂²=b₁b₃=4，
又b_n+1＞b_n(n∈N*)，∴b₂=2，
∴q=2，b_n=2^n-1；
（2）∵a_n=log₂b_n+3=log₂2^n-1+3=n+2，
∴数列{a_n}是首项为3，公差为1的等差数列；
（3）由（2）知a₁+a₂+…+a_m=m×3+

×1=

，
∴

≤42，整理得m²+5m-84≤0，
又m≥1，
∴1≤m≤7，∴m的最大值是7。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{bn}（n∈N*）.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。