设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=， 求数列{an}与数列{bn}的通项公式；（

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，记b_n=

（n∈N*），
（Ⅰ）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为R_n，是否存在正整数k，使得R_k≥4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）记c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N*），设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n，都有T_n＜

。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）当n=1时，

，∴

，
又∵

，
∴

，即

，
∴数列{a_n}成等比数列，其首项

，公比

，
∴

，

；
（Ⅱ）不存在正整数k，使得

成立；
下证：对任意的正整数n，都有

成立，
由（Ⅰ）知

，







，
∴当n为偶数时，设n=2m（m∈N*），
∴

；
当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N*），
∴

，
∴对于一切的正整数n，都有R_n＜4k，
∴不存在正整数k，使得

成立．
（Ⅲ）由

得





，
又

，
∴

，
当n=1时，

；
当n≥2时，






。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为S.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。