在数列{an}中，a1=2，a n+1=4an﹣3n+1，n∈N*．证明数列{an﹣n}是等比数列；设数列{an}的前n项和Sn，求S n+1

题文

在数列{a_n}中，a₁=2，a _n+1=4a_n﹣3n+1，n∈N*．
（1）证明数列{a_n﹣n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的前n项和S_n，求S _n+1﹣4S_n的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由题设a _n+1=4a_n﹣3n+1，得
a _n+1﹣（n+1）=4（a_n﹣n），n∈N*．
又a₁﹣1=1， 所以数列{a_n﹣n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
（2）由（1）可知a_n﹣n=4 ^n﹣1，于是数列{a_n}的通项公式为a_n=4 ^n﹣1+n．
所以数列{a_n}的前n项和S_n=

+

，
Sn+1=

+


所以S _n+1﹣4S_n=﹣

（3n²+n﹣4），
故n=1，最大值为0．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=2，a n.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。