设{an}和{bn}均为无穷数列．若{an}和{bn}均为等比数列，试研究：{an+bn}和{anbn}是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列

题文

设{a_n}和{b_n}均为无穷数列．
（1）若{a_n}和{b_n}均为等比数列，试研究：{a_n+b_n}和{a_nb_n}是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前n项和公式．
（2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前n项和公式（用首项与公差表示）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）①设c_n=a_n+b_n，则


﹣（

+

）（

+

）
=a₁b₁



（q₁﹣q₂）²
当q₁=q₂时，对任意的n∈N，n≥2，

=c _n+1 c _n﹣1恒成立，
故{a_n+b_n}为等比数列；       
 ∴Sn=


当q₁≠q₂时，对任意的n∈N，n≥2，

≠c _n+1 c _n﹣1，{a_n+b_n}不是等比数列．
②设d_n=a_nb_n，对于任意n∈N*，

，{a_nb_n}是等比数列．
S_n=

  
（2）设{a_n}，{b_n}均为等差数列，公差分别为d₁，d₂，则：
①{a_n+b_n}为等差数列；S_n=（a₁+b₁）n+

（d₁+d₂）
②当d₁与d₂至少有一个为0时，{a_nb_n}是等差数列，
若d₁=0，S_n=a₁b₁n+

a₁d₂；
若d₂=0，S_n=a₁b₁n+

b₁d₁．
③当d₁与d₂都不为0时，{a_nb_n}一定不是等差数列．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设{an}和{bn}均为无穷数列．.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。